和 Higgs 粒子和中微子相关的灌水帖

紫荆棘鸟

因为 c (光速) 通常很大，所以当物体的运动速度 v 很小时 (例如火车、飞机的速度，尽管看起来似乎很快，相对光速却很小了)，sqrt (1- v^2/c^2) 几乎是 1，所以 t0 和 t1 没什么区别。这就是牛顿力学的结论，无论物体以什么速度运行，那个物体上的时钟快慢和你的时钟快慢是同步的，没区别。但是狭义相对论宣称的结论却不一样，两者是有区别的，你观测到的运动物体上的时钟会变慢，只不过如果其速度很小时，通常你感觉不到而已。例如一个物体以3000公里/秒运动，亦即光速的 1/100，那么观测到的时间变缓的区别只是
1 / sqrt (1 - v^2/c^2) = 1/sqrt(1-1/10000) = 1/0.99994999 = 1.00005
亦即只变慢 0.005%，百万分之五，根本感觉不出来。
不过如果物体运动速度很快，例如高能粒子，中微子，假设速度是光速的 99%，那么时钟变慢的效应就相当可观了：
1 / sqrt (1 - v^2/c^2) = 1/sqrt(1-0.99^2) = 7.0888....
亦即时钟会变慢差不多 7 倍。
如果速度是光速的 99.99%，那个这个尺度更加明显：
1 / sqrt (1 - v^2/c^2) = 1/sqrt(1-0.9999^2) = 70.71......
亦即时钟会变慢差不多 70 倍。

纤尘不染

紫荆棘鸟 发表于 2012-7-20 13:49
你是不是记混了点？估计你是说孪生子佯谬，the twin paradox

大概是这样的。是我数学书上的问题，改天我找出来看看，如果还找得到的话。貌似是初二的数学题吧

紫荆棘鸟

The Twin Paradox 说的就是，假设有两个孪生兄弟，其中之一在地球，另一乘坐宇宙飞船旅行，假设宇宙飞船的速度是光速的 99.99% (当然不会有这么快，这里只是做假设说明问题)。假设这位兄弟在宇宙里转悠一年回来，因为地球上的兄弟观测到宇宙飞船的时间会变缓大约70倍，所以当两兄弟见面时，地球上的兄弟会比乘坐宇宙飞船的兄弟老70岁

紫荆棘鸟

这个显然是不对的，因为运动是相对的，宇宙飞船相对地球以 99.99% 的光速运动，
同样可以看作是地球以 99.99% 光速相对于宇宙飞船运动，对不对？
所以，地球上的兄弟观测到飞船的时间，固然会变慢70倍，但是对称地，飞船上的兄弟观测到地球上的时钟，也同样会慢70倍。
所以结论只能是，当两兄弟会面时，他们是一样年轻的，都只老了一岁。

所以它被称为 paradox，佯谬。大家都知道这个结论是错的，但是抛给爱因斯坦，看他如何解释这个错误的结论。

紫荆棘鸟

有意思的是，历史上爱因斯坦本人确实试着解释了 the twin paradox，但是他的解释是错误的。

紫荆棘鸟

纤尘不染 发表于 2012-7-20 09:21
大概是这样的。是我数学书上的问题，改天我找出来看看，如果还找得到的话。貌似是初二的数学题吧

这怎么会是数学题？纯粹是个物理问题。
而且一般的中学物理老师根本就不会解释 the twin paradox，很多物理科班的博士和教授脑袋里都一塌糊涂的，呵呵，信不信由你。

纤尘不染

紫荆棘鸟 发表于 2012-7-20 14:45
这怎么会是数学题？纯粹是个物理问题。
而且一般的中学物理老师根本就不会解释 the twin paradox，很多物 ...

确实是出现在我数学书上的题目的，题目要求出哥哥从宇宙回来后比弟弟小几岁。

那是我是算出结果出来了，纯粹算术问题。可是我一直对这个问题有着深深的疑惑，如何知道宇宙的速度比地球的慢呢，衡量标准是什么呢

紫荆棘鸟

纤尘不染 发表于 2012-7-20 09:49
确实是出现在我数学书上的题目的，题目要求出哥哥从宇宙回来后比弟弟小几岁。

那是我是算出结果出来了 ...

那行，你将题 and 书 and 书的作者拷贝过来，如果他们确实是依据 the twin paradox 出题让你做计算，我能找到这位作者的话，我一定骂他个狗血喷头，呵呵。

紫荆棘鸟

纤尘不染 发表于 2012-7-20 09:49
确实是出现在我数学书上的题目的，题目要求出哥哥从宇宙回来后比弟弟小几岁。

那是我是算出结果出来了 ...

他们给你个公式，你代人数值，自然就计算出来了，算算术问题。
问题在这里，他们根本不懂得去 justify 那公式的意思，不明白它到底什么意思。

纤尘不染

紫荆棘鸟 发表于 2012-7-20 14:53
那行，你将题 and 书 and 书的作者拷贝过来，如果他们确实是依据 the twin paradox 出题让你做计算，我能 ...

我需要一点时间来找书，我小学的音乐美术书都没扔，有些乱，我要找啊找啊找~~~~~~~~~

紫荆棘鸟

纤尘不染 发表于 2012-7-21 07:10
我需要一点时间来找书，我小学的音乐美术书都没扔，有些乱，我要找啊找啊找~~~~~~~~~

那就没必要找了...继续灌水........

紫荆棘鸟

从数学结构而言，在量子力学中，一个物理量的统计分布，也和大家脑袋中固有的那个“统计”概念有很大的差别。量子力学的统计分布，从数学结构而言，实际上是希尔伯特内积空间上的谱分析。这里有物理、数学甚至工程背景的同学其实都或多或少地知道谱分析，尽管严格说来它属于数学中泛函分析这门学科。谱分析，来个不很恰当的类比，用这里所有文人诗人都能懂的话说，它在最简单最原始的情况下就退化成笛卡儿平面解析几何，或者稍微抽象点，基本上就是线性代数中的矩阵的特征值和特征函数。

物理、工程 上最常见、最重要的的谱分析，这里许多人肯定都晓得，那就是傅立叶 Fourier 变换。开个玩笑，任何理工科背景的人都应该知道 Fourier 变换，否则就算不合格，呵呵。Fourier 变换实际上就是将某个函数按照三角函数去展开，特别，如果这个函数是周期函数，Fourier 变换实际上就是算 Fourier级数，将它按照三角函数 (正弦、余弦函数) sin (nx)，cos (nx)，(n 为整数) 去展开。形像地讲，就是这里的菊老板要将某个函数当成奖品分发给诸位斑竹 sin (nx)，cos (nx)，(n 为整数) ，大家论功行赏，所得的奖品就称为“振幅”。这里的 Fourier 级数实际上就是某种希尔伯特内积空间，诸位斑竹 sin (nx)，cos (nx)就相当于平面几何的X、Y坐标轴 (不过那里只有两维，这里有无穷维而已)，诸位斑竹分得的奖品，亦即振幅，就对应于量子力学统计解释的“概率”。

接下来咱们来看看2) 海森堡不确定性原理。
海森堡不确定性原理，英文叫做 Heisenberg Uncertainty Principle，以一代宗师、量子力学的创始人之一海森堡Heisenberg 的名字命名。海森堡是个德国人，希特勒的追随者，二战时以他和奥地利的大物理学家泡利 Pauli 为首主持德国原子弹的研制，只不过美国那边以天才的奥本海默为首的科学家早一步研制出了原子弹并在日本的广岛、长崎投下，否则，二战结局如何还真的难说。 因为这，海森堡差点被送上军事法庭审判。只是大家可能念及他对物理学的卓绝贡献而最终没有送他上军事法庭。

海森堡和薛定愕同为量子力学的奠基人，但是他们对量子力学的理解却有很大的差异。海森堡是波尔阵营的猛将，薛定愕则是爱因斯坦旗下的猛将，有意思是不是。两人年纪也差不多，奠定量子力学的框架时都才 20 多岁，够厉害是不是。可是就连这样厉害的人物，海森堡却时不时被泡利斥为笨蛋，甚至，在海森堡领取诺贝尔奖那天，Pauli 也当众骂他笨，害得与会的物理学家们都敢怒不敢言。为什么大家敢怒不敢言呢？因为大家都惹不起 Pauli。Pauli 此人的成就虽然在海森堡等宗师之下，但是他对物理的掌握、其聪明、其敏锐，估计是无人能敌，包括爱因斯坦在内。大家要是不信，可以从图书馆借那套 “Pauli 物理学讲义”一读。那套讲义一共 6 册 (好像是 6 册，具体记不清了)，每册都很薄。泡利写那本关于狭义相对论的讲义时，他才 19 岁，那套讲义，百年后基本上没什么改动，现在仍然被奉为经典教科书。

大家知道，量子论的开山祖师虽然是普朗克普爷爷，但是普爷爷从来就不是量子论的领军人物，事实上普爷爷见量子论引爆了太多的混乱，弄得一发不可收拾，老人家痛不欲生，还站出来反对量子论。从 1900 年到 1913 年，量子论的旗帜，其实不是别人，而是爱因斯坦，尽管爱因斯坦一直和量子论的主流大本营哥本哈根学派过不去。爱因斯坦得到的那枚诺贝尔炸药奖，凭的不是相 对论，也不是统计物理例如他对布朗运动的研究，而是光电效应，这属于量子论的范畴。1913 年，波尔抛出氢原子模型，才逐步成为量子论的旗帜。1925 年年轻的海森保、薛定愕、狄拉克才接过波尔的枪，完成了量子力学的框架，使得量子力学真正得以发扬光大。

大家可能会纳闷，从普爷爷 1900 年抛出量子的观点开始，到 1925 年量子力学的基本框架才完成，这期间怎么花了 1/4 个世纪？时间够长了是不是。再看看同一时期的狭义相对论，其框架的表述，几乎是举手之劳的事情。狭义相对论之所以名动江湖，是因为它对大家思维观念的冲击 (当然，它本身也是极为重要的，否则它也不会成为现代物理的基石)。在表述上，在数学结构上，狭义相对论是小菜一碟。但是量子力学却不是那样的，量子论虽然也颠覆传统的思维观念 (例如能量怎么得一份一份地而不是连续的)，但是其困难还包括数学表述上的困难。自牛顿以来，物理学家们总是假设咱们这个世界的物理量是连续而且光滑的。 但是如果它们不是连续的呢？大家似乎还没有想到过，束手无策。

所以，狭义相对论和量子力学的发展是很不一样的。狭义相对论能从很简单的假设出发，用演绎地方式步步为营导出络仑兹变换，然后呢，从络仑兹变换出发，再加上能量守恒、动量守恒等假设导出狭义相对论 (的动力学内容)。第一个假设，任何惯性参照系是等效的 ---- 其直观背景就是牛顿第一运动定律，只不过这里被“提升”到了公设/原理的高度用更加简单更加自然的方式表述出来而已。也就是说，这个原理假设不同的惯性参照系中所看到的物理规律有同样的表述形式。多么自然优雅是不是？至于第二个假设，光速在真空中是个定值，其依据就是物理实验：麦克尔迅-莫雷实验。

请大家注意的是，著名的时空变换络仑兹变换只是狭义相对论的“一部分”，因为它只涉及时间和空间如何去耦合去变换，而不涉及诸如力、质量、能量、动量等动力学内容。为了在动力学中得到有意义的结论，络仑兹变换是不够的，你还得有其他的假设，例如能量守恒定律，从而得到诸如著名的质能关系式 E=mc^2 等令人惊异的结论。大家知道，E=mc^2 就是原子能的理论依据。

但是量子力学的发展却是充满坎坷的，过去那样，现在也是如此。现在，你知道标准模型一定对么？谁都答不上来。所以，从量子力学的发展史上你可以找到一大串熠熠生辉的名字，但是从相对论，包括广义相对论/引力理论的发展史上，你基本上只能见到爱因斯坦一个人孤独的背影。如果说狭义相对论尚有络伦兹、庞加莱、郎之万等人的参与，那么广义相对论则纯粹是爱因斯坦“无中生有”凭借其智慧鼓捣出来的。或者咱们可以等价地这么说，没有波尔、薛定愕、泡利、海森保、杨振宁等，没关系，他们的工作肯定会有人在不久的将来由另外的人完成；甚至，狭义相对论没有爱因斯坦也没关系，庞加莱、泡利等胆大妄为之余也能诠释络伦兹变换和狭义相对论 (亦即狭义相对论的提出是必然的)，但是广义相对论却完全不一样。如果没有爱因斯坦，咱们现在有没有广义相对论都难说。这是不是从另一个侧面衬托出了爱因 斯坦的智慧、科研上的孤独离索、以及他的卓尔不群？

事实上，量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直觉、智慧、经验“凑”出来的结果。没错，那些结论能或者基本上能得到实验的证实，随后也能赋予较为严密的数学结构/解释，但是没有人能很合理地解释 为什么为什么结果/理论为什么必须会那样。咱们来看看那时的几个主要 milestone，包括海森保测不准原理在内。

泪水晶

你到底学啥的啊，好深奥

紫荆棘鸟

泪水晶 发表于 2012-7-24 08:24
你到底学啥的啊，好深奥

打死都不说：)

紫荆棘鸟

接着灌水。咱们来看看那时的几个主要 milestones，包括海森保测不准原理在内。
a) 氢原子模型。这是哥本哈根学派的核心人物尼尔斯*波尔的主要成就之一。毫无疑问它是量子论发展史上的 milestone 之一。实际上，波尔的氢原子模型就是个凑出来的模型，它能解释些 How，但是不能解释 Why。很大程度上这和在瑞士某女子中学任数学教师的巴尔末 Balmer 大约 30 年前 (指波尔发表氢原子模型之前的 30 年) 总结出氢原子光谱的Balmer 公式一样，本质上还是处于经验的归纳和总结阶段，区别只是波尔站的高度、对物理的掌握、洞察更高而已。这和狭义相对论、广义相对论那种本质上基于演绎推理的理论是很不一样的。

说个题外话。俺高中时代知道 Balmer 公式并且知道他是个中学教师后，自惭形秽之余也突发奇想看看就某些数据能否整个经验公式。当然那时俺还不是教师，但是怎么说也马马虎虎算个三好学生对不对，所以应该自惭形秽时还是可以去自惭形秽的，再说偷偷自惭形秽并不影响俺美丽而且光辉的形像......那时么，英特网据说有了，但是基本上只能依赖长途拨电话上网之类，那可不是俺能消费得起的，再说俺也没有电脑 (俺的第一台电脑，也是俺家的第一台电脑，还是俺光荣地考上大学后老爸因激动而昏头昏脑之余给俺的奖品，呵呵)，哪里能找到什么数据供俺折腾的？所以基本上只能就化学课本上不多的数据去发挥俺的折腾才华......最大最完整的数据之一 (如果不是最大最完整的数据的话)，就是元素的逐个电子的电离能数据，氢原子一个，氦原子两个，...，氧原子 8 个等，那个表里可有几百个数据，够俺这木脑袋折腾的了。那个晚上俺主要是对着那些数据发呆。嘿，功夫不负发呆人，俺居然惊奇地发现那几百个数据可以排列成若干二阶等差数列 (实际上就是原子序数的一元二次函数。所谓的等差数列不就是线性函数对不对)。第二天，俺故意装出个平静如水的样子，向化学老师展示了俺关于元素电离能的发现。俺还以为化学老师会猛夸我一顿呢，结果呢，虽然化学老师确实夸了我一顿，但是那夸奖不过是例行公事一般的，是假惺惺的，俺又不蠢，那种不置可否的夸奖岂有听不出来的道理......俺不甘心，又问老师，这个结论是不是已经有了，只是我不知道而已？如果没有，俺这个发现还是蛮不错的，俺王婆卖瓜地道。 化学老师支吾道，我得拿去好好看看再说。这样，化学老师拿去看了 N 天，俺面皮薄，又不好意思催，这样又过了几天，化学老师才说，唔，这个结论好像有了。俺大失所望，道，在哪里有了，人家的结论和解释又是什么呢？化学老师却又答不上来，我又不好意思反复问，以免化学老师来火......

现在想来，俺那化学老师压根儿就不懂那些，基本上是在信口开河蒙我， 只是他拉不下面子不肯在他的学生面前说不知道而已。为什么呢？俺后来也就是在大学里才知道俺的经验公式需要用量子力学才能解释，俺那化学老师哪里明白这 些......不过俺高中对化学老师失望之余，就找了个借口拒绝参加化学方面的奥赛，须知那时很长一段时间内俺是学校的“特权学生”，能拿学校的钥匙自由进出学校的实验室，包括化学实验室。

接着灌水。咱们来看看那时的几个主要 milestone:
b) 泡利不相容原理
c) 海森保不确定性原理
d) 薛定愕的波动力学 and 海森保矩阵力学
e) 量子电动力学的开始：狄拉克方程
这些都是凭经验、智慧“凑”出来的，且容我解说解说，现在休息休息：)

俺略略回头一看，俺写的过于庞杂了。其实写得杂，并非缺点，但是我心中显然没有一个提纲，而是滑到哪，就写到哪。

波尔和爱因斯坦的世纪论战，真正棋逢对手能做到针尖对麦芒的，是泡利和爱因斯坦本人。波尔无论是学识、智慧、口才，都在爱因斯坦之下。泡利的学识和IQ通天彻海，可惜他有点聪明反被聪明误的味道。

楼上 85 楼的图片，估计大部分人看不到。这里我重新上传到六间房，贴如下。



                       布鲁塞尔1927索尔维会议，爱因斯坦和玻尔各作‘守门员’

接下来咱们胡侃著名的
b) 泡利不相容原理 Pauli Exclusion Principle
俺先检讨一哈。楼上俺说，--- 量子力学一些最主要的里程碑发现，特别是在早期，基本上都是那些牛人们凭借自己的直 觉、智慧、经验“凑”出来的结果。--- 这个说法本意并无贬抑量子力学的意思，本意只是在强调，和狭义相对论、广义相对论本质上更侧重演绎推理相 反，量子力学早期的结论更侧重于经验归纳，上升到理论模型高度是以后的事情。事实上科学结论大部分都是这么得到的，像相对论那样从最开始起就能从简单的假设出发步步为营导出结论，实在是少数。呵呵那个“凑”字歧义太大了。

还是用以前的留言风格：海阔天空，从数学到物理，有时也搀和自己简陋的评论，希望对那些准备学习数学、物理的学生，或者正在学习数学物理数学的学生都有所帮助。俺尽量少用专业术语，尽可能让这里对 science 感兴趣的诗人文人们也能看出些大概。

如果说海森保算半个纳粹战犯，那么泡利可以说是 1/4 个纳粹战犯，呵呵。当世最大的天才之一 (如果不是最大的天才的话----主要因为爱因斯坦) 的泡利对物理最大的贡献之一，就是提出了泡利不相容原理。这一原理不仅对物理基础产生重大影响，而且对其它物理分支，例如统计物理、固体物理/凝聚态理论、化学等也产生了重大影响。它是现代物理最重要的原理之一。事实上，泡利本人于 1924 年提出这一原理时，就是从波尔那个像太阳系的氢原子模型以及化学元素周期表出发，凭借其的智慧观测总结得来的。这个原理是说：

原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。

当时对氢原子模型而言，量子态包括主量子数、轨道角动量子数，以及磁量子数三个参数。这些量子数是什么意思，不熟悉的读者可以不必理会，不过这和太阳系的行星轨道模型是很相似的。主量子数，基本上就是行星的轨道编号，例如水星处于第一个轨道，金星呢，在第二个轨道，地球第三个，火星第四个，木星不是第五个而是第六个，第五个是小行星群，呵呵。轨道角动量子数对应于行星绕太阳系的公转转动，而及磁量子数则是因为电子是带电的，转动时产生磁场。区别是，行星围绕太阳运动时像轨道角动量等是连续的，但是在氢原子模型中，因为量子的缘故，它们不再是连续的，而是离散的。

细心的读者可能会问：像地球一样的行星除了公转外，还有个自转啊。这自转对应什么呢？呵呵，没错，确实有个自转在氢原子模型中没有对应的。所以，泡利补上了这条对应：电子有自旋 spin。所以现在电子的量子态有四个参数：主量子数、轨道角动量子数、磁量子数，以及自旋量子数。泡利不相容原理是说，原子中没有任何两个电子可以拥有完全相同的量子态。

当然，以上是直观描述，估计纯诗人也看得明白。不过真正说到物理，自然没有这么简单，即使只考虑最开始的经验归纳总结，也不会有这么简单。让我们略微深化一哈，供有些物理背景的人阅读、批评、指正。

泪水晶

上面一排人照片如果让我这么认，基本都认不出来。

你一定是中情局的，所以涉猎广泛，阿门

纤尘不染

反正在家也没事，就随便找找~
最近倒是有些忙，发录取通知书了，常常和童鞋逛街都进去溜达看我的到没？还要去学校拿档案之类的

再找找，或许找到，反正我的书练习册 之类的都没丢，呃，真伤脑筋。

紫荆棘鸟

找不着就算了，无关紧要。就算你找着了，并且证实那位出题的老师瞎整，我难道真会去批评人家不成......

紫荆棘鸟

我们先说说经典物理中的哈密顿量以及七个基本守恒量。为什么我这里节外生枝地说它们呢？原因是它们太重要了，无论在经典物理还是现代物理中都扮演举足轻重的地位，可以说是物理中最核心的概念之一。而且，为了明白啥是自旋，先来这些铺垫还是有好处的。

大家知道，经典物理学大厦是由牛顿奠基盖起来的，以牛顿第二运动定律为核心的经典动力学，着重于分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系。牛顿力学后来在拉普拉斯、拉格朗日、哈密顿等人的努力下得以形式化和推广，其中最著名的两种等价形式是拉格朗日方程和哈密顿正则方程。这个，学习过大学物理的人都应该清楚。

如果局限于牛顿经典动力学，那么牛顿运动方程、拉格朗日方程以及哈密顿正则方程是等价的，并无区别。但是，拉格朗日方程和哈密顿正 则方程除了在形式上完善外，还引入了广义坐标的概念。这意味着后两者除了能赋予更加严密的数学基础外，它们还能更加容易得以推广，因为在拉格朗日方程和哈密顿正则方程中，“坐标”并不再局限于时间和空间，比方说大家熟悉的四维电场-电势，它们在狭义相对论络伦兹变换下的规律和四维时空是一样的。

历史上，拉格朗日方程是用虚位移、广义坐标、广义力等概念、达朗贝尔原理以及数学上的变分法 (主要属于泛函分析领域) 等导出的，从偏微分方程角度而言，形式上它等价于二阶偏微分方程。众所周知，一般的二阶偏微分方程是很难得到一个解析解的，可能是基于这个原因 (当然应该还有别的原因)，在拉格朗日提出拉格朗日方程后大约半个世纪，哈密顿应用所谓的勒让德变换从拉格朗日方程导出了哈密顿运动方程，从偏微分方程角度而言，这些方程得以简化，因为它们是一阶的，但是代价是方程数目增加一倍。

谢谢杠王。回答杠王提的问题。
87 楼那个照片汇集了当时大部分最卓绝的物理学家。那些人基本上都是诺贝尔奖得主----朗之万除外。朗之万，像波色一样，可能是历史上最应该得到诺贝尔奖但是最终却没有得到的学者之一 (有人说吴健雄应该和李政道杨振宁一起分享诺贝尔奖，我也觉得是，但是相比之下朗之万更亏，呵呵)。朗之万是少数坚决和纳粹作斗争、并且对共产党、社会主义予以同情支持的学者之一。

当然有的学者得的诺贝尔奖并非一定是物理学奖 (尽管绝大部分是)，例如德拜得的是化学奖，居里夫人也得了一枚化学奖。本来么，作为物理学的一个分支，有时化学和物理难以区分的。埃伦费斯特多才多艺，他本人通晓物理，也是个数学家，但是他得的是诺贝尔经济学奖，够神奇的是不是？

好了，楼上一顿罗嗦，其实不外乎在说，我们从牛顿经典力学过渡到了形式更完美的哈密顿力学。著名的哈密顿正则方程是 (呵呵，第一次用了个简单的公式)：



其中的 H 称为 “哈密顿量”，q 则为广义坐标 (例如三维空间中的 x、y、z)，p 为广义动量。p、q 上加一点，表示它们对时间的偏导数。显然，对应于牛顿力学，p 对时间的偏导数就是作用力，q对时间的偏导数就是速度。

如果先忽略 p、q 的物理意义，光从楼上的 Hamilton 正则方程组考察其形式，很明显，除了相差一个符号外， p、q 对 H 而言是对称的，对不对？所以这对变量 (q、p) 称为正则变量对。另外，时间 t 在 Hamilton 系统里的地位也很特别，它和普通的广义坐标 q 不同，因为 H 中存在 q、p 对 t 的偏导数，对不对？所以，在描述 Hamilton 系统所对应的几何：辛空间中，时间的特殊性就被理解成，用整体微分几何的语言，H 是时间 t 上的纤维丛，其纤维恰恰就是广义坐标构成的空间。记得前文中提到的嘉当、陈省身、李群么？辛空间和它们有着千丝万缕的联系。

从几何角度而言，哈密顿系统和拉格朗日系统是否完全等价，我还没有弄清楚，欢迎数学数学物理这方面的行家指教。

那么哈密顿量 H 到底是啥呢？本质上它不是别的，而是大家熟悉的能量。为什么俺这里这么强调 H 呢？至少有以下一些理由：

i) 在经典力学中关于一些守恒量的理解，它能给我们一个更为清晰的图像
ii) 在从经典物理学到量子力学的过渡中，H 扮演了很关键很核心的作用。

关于 ii)，熟悉量子力学的朋友都知道，如果 x 代表位移，那么其对应的正则变量，亦即动量，则是对 x 的偏导数，等。其中的 Hamilton 形式起了关键的作用。咱们这里重点看看 i)。

大家知道，守恒量/不变量的研究在物理中有着重要的地位。为什么它们重要呢？我看至少有以下几点理由：

i) 对一个复杂的系统而言，守恒/不变意味着对系统加上了额外的约束，亦即自由度的减少。一个选取得当的额外约束使得系统更加简单的同时，往往也能提供很深刻、很本质的结果。
ii) 一个系统某个物理量不变通常意味着该物理量在某种变换下不变，通常这和某种变换群相联系。

i) 的表述有些拗口，俺一时也找不到明显更清晰的表述，不过有一定理科素养的人应该不难理解。俺举个简单的例子，假设咱们都是一群聪明的文盲，被耶和华他老人家派遣来研究平面上的三角形。假设我们事先没有任何关于三角形的知识，尽管咱们都比较聪明就是，呵呵。

怎么着？漫无头绪对不对？不过我们知道我们要研究的是六个几何量：三个角度，三条边。不过，初步研究表明，这是个几何量似乎不是独立的，因为初步经验表明，任何一个三角形，如果咱们事先知道其两条边以及其夹角 (所谓边角边公理)，这个三角形就能固定下来。两条边，一个夹角，我们这里可只能任意选取三个几何量。这意味着什么？很明显，这意味着三角形的6个几何量中只有三个是独立的，另外三个不是独立的，它们能从这三个独立的几何量中推算出来。也就是说，这六个几何量中存在三个本质上不同的约束关系。现在我们的任务就是找出这三个约束关系，完成三角形的研究。

假设我试了一试，发现很难，我浪费了两年时间，没什么进展，可是我银行的钱差不多没了， 我 吃饭成问题了，于是我向 ZF 求助，要求给我经费；或者，我觉得这个问题很大，牵涉的东西很多，很重要，需要一些人集体努力，所以我会劝说 ZF 给我更多的钱给我更大的权限让我招学生一起努力。当然，ZF 可能会拒绝我，我心灰意冷之余撂挑子，结果这个重要的结果被个法国佬和一个俄罗斯佬联合完成了，俺那时若还对它有兴趣有感情，俺就会痛心疾首怒斥咱们的科 研体系；如果那时我热衷于股票对此麻木不仁，俺会淡然一笑：爱谁谁谁做谁去做好了。当然，也有一种可能是，ZF 批准了俺的申请，结果俺能力不济，花了钱却啥也没做出，或者俺虽然做出了但是结果却平庸没啥子用......呵呵，介个就称为学术腐败：)

呵呵闲话少说，回到正题。假设俺想继续寻找这三个约束关系，可惜俺没有门道，所以开始俺不得不研究简单的情形，希望得出一些有用的结果，然后再从中得到启 发，推广到一般情形。比方说，俺考虑直角三角形。直角三角形是啥东西？很简单，有个角度是 90 度，对不对？这样，咱们研究的对象得以简化了，因为少了一个几何量，现在只有5个，对吗？

没错，先从简单的直角三角形开始。可能，这条路 子也不对，但是谁知道呢？说不定得从等边三角形研究起？鬼知道。试一试再说。结果呢，咱们居然发现了勾股定理。大家很高兴，连续用公款吃喝三天为庆才罢 休。当然这算是浪费纳税人的钱，不过我们手头有点资本了，上级部门即使有微词，但是想想这也不算大错，何况上司们自己花钱也时常胡来对不对，所以上司眉头 一皱，忍了。我们呢，佯装不知，给上司一瓶茅台，上司一乐，给我们评个科技进步二等奖。

得奖后我们出了点名，成了博士导师，工资也涨了，一时幸福无以言表。这时呢，如果我们对三角形还有兴趣，或者在科研经费面前还有良知，我们就可能会从勾股定理出发继续研究，最终我们得到了三个约束，亦即余弦定理：
    a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A
从而评选上院士。如果我们满足于勾股定理，我们也就懒得去折腾了，拿点薪水混点经费悠哉油哉，反正我们有勾股定理，吃吃老本也说得过去，何况，如果大家都一样堕落，十年以后咱们还兴许能评选上院士。

上楼之 ii) 就懒得说了 (以后估计会陆续提到点)。接着说 92 楼的 i): 在经典力学中关于一些守恒量的理解，它能给我们一个更为清晰的图像.

纤尘不染

那好，我们来灌水吧！
你码字码的好辛苦的说{:soso_e163:}
我慢慢看~嗯嗯，