和 Higgs 粒子和中微子相关的灌水帖

纤尘不染

泪水晶 发表于 2012-7-24 14:45
上面一排人照片如果让我这么认，基本都认不出来。

你一定是中情局的，所以涉猎广泛，阿门

笑点太低了，看到中情局忍不住笑了，哈哈哈~~~~~~~~
我也觉得好深奥。

紫荆棘鸟

她在挤兑我，我怎么会跑到中情局呢。

紫荆棘鸟

经典物理中最重要最有名的守恒，应该是能量守恒和动量守恒，一共四个守恒量 (因为空间共三个方向)。历史上，这样的守恒量也是在争吵、摸索之中逐步建立起来的，例如在牛顿力学早期，关于弹性球的碰撞实验，那时大家并不知道个动量守恒，知道的，只有一个能量守恒，而且那时的能量守恒叫做“死力”守恒，死力就是弹性球的动能加上其势能之和。死力守恒不足以解释刚体的弹性碰撞。为了解释刚体的弹性碰撞，人们才引进所谓的活力守恒-----也就是动量守恒。在波尔兹曼一统经典热力学/统计物理前，以卡诺、焦耳等为代表的物理学家从大量的物理事实/实验中总结出了热功当量以及能量守恒定律，其中的永动机闹剧，就是在那个时代提出并且加以否决的。

回到哈密顿正则方程组，见 91 楼。考察坐标 q (例如你可以类比成三维空间中的 x)，如果哈密顿量 H 和坐标 q 无关，亦即从数学上讲，如果 dH/dq =0 (俺这里用 d 代表那个偏导数符号)，那表示什么？那表示 dp/dt = 0 对不对？也就是说，动量不随时间改变，这个值永远是恒定的，亦即动量守恒，对不对？所以说在哈密顿体系之中，动量守恒是和系统的哈密顿量平移不变是等价的 (亦即 H 和坐标 q 无关，无论你在哪里测量 H，其值是一样的)。也就是说，动量守恒和空间的均匀性是一回事情。

类似地，能量守恒等价于系统的哈密顿量对时间的平移不变性。这个要求，其实不光是形式上来自哈密顿方程组，也同样来自我们对物理概念无歧义的维护。大家想一想，同样一个系统，如果今天的观测结果和 100 年后的结果不是一回事情，那就表明物理规律的观测，今天的结论在100年后不再有效----这是很可怕的，是不是？

有的同学可能会问，嗯？你不是说经典物理有 7 个守恒量么？上面你只讲了四个 (一个能量，三个方向的动量)。还有三个呢？答案是，另外三个对应于空间中的转动 (动量守恒对应于空间平移的不变性，对不对)。如果你的广义坐标是空间的转动角度，而且哈密顿量和这无关，亦即系统的哈密顿量对空间是各向同性一样的，那么对应的，系统的角动量守恒。注意，它和动量守恒虽然都是涉及空间的守恒量，但是一个涉及空间的平移，一个涉及空间的转动，两者之间并无什么本质上的联 系。

阿基米德曾经豪言道：给我一根杠杆，给我一个立脚点，我就能撬动地球！阿基米德豪言的依据就是他发现的杠杆定律，实际上和角动量守恒是一回事情。

描述空间转动，在数学上要比描述空间平移要复杂些。通常，描述空间平移，咱们用三个正交的坐标系 (x，y，z) 对不对，描述空间转动的三个坐标，通常用三个欧拉角。从初等数学而言，三个欧拉角的描述比直角坐标系的 (x，y，z)复杂不少，但是这不是它复杂的主要理由。它的复杂性是因为其相应的转动群 SO(3) 的拓扑性质，特别是和酉群 SU(2) 的同胚关系。这里就涉及到了较为专门的数学术语了，本想略过不提，但是这对大家理解什么是自旋、什么是 SU(2) X U(1) 的弱电统一理论，什么是物质、什么是标准模型，却是至关重要的，所以俺还是计划罗嗦几句。如若有一两位朋友能看懂甚至看得迷迷糊糊，也不枉俺打字科普了，呵呵。

虽然俺计划讲述些专门的名词，但是还是力求用非数学符号表达。这些概念，虽然只限简单的解释说明，但是所涉及的，却是现代数学和现代物理的主线 (尽管并非完整的主线)。俺这些水帖，虽然是边滑边写的，事先没有构思好框架，但是涉及面是很广的，网络里基本上没有这样写得庞杂的科普文章，呵呵。

如前所说的，守恒量、不变量的意思是，某个系统在某个变换下不变。例如能量守恒，就是系统的哈密顿量在时间平移下不变。研究变换下不变的数学工具，称为群论 Group Theory。群通常分为离散群和连续群，李群就是连续群。对现代物理而言，最重要的是一种称为酉群的李群，特别是 U(1)，SU(2) 以及 SU(3)。这是前文交代过的，这里算是温习。

空间各向同性导致角动量守恒，这个变换对应的变换群称为空间转动群 SO(3)，这里3代表三维空间。不过，因为 SO(3) 比较复杂，咱们为了说明问题，来考察最简单的转动，那就是在平面二维空间的转动。这个群标记为 SO(2)。问题简单很多，因为 SO(2) 所描述的转动只有一个角度，对不对？

我们来考察 SO(2) 转动群和最简单的酉群 U(1) 之间的关系。这里得简介几个数学概念：群同态/同构、子群和商群，以及拓扑。

想了一下，为了讲清楚自旋 以及 SU(2) 群，以及相应的数学结构，俺计划分两条主线：
i) 从单位圆群 U(1) 到 SU(2)，顺便讲述什么是数，特别是关于数这个概念的推广：从实数 --> 复数 --> 四元数 --> Clifford 代数
ii) 说说 U(1)，SO(2) 和实数之间的代数、拓扑关系。这个例子只涉及到平面，但是能涉及到代数一些最基本的概念。

有些同学可能会迷糊：问什么是实数，是不是有点小儿科了？咱们小学就接触实数么，就能画数轴。实数么，就是有理数和无理数，管它有理无理放在一起不就成 了？不过学习过实数理论的同学，就知道事情远不是这样简单。数学这座大厦太庞大了，大家每前进一步都得保证其严密的逻辑，否则它就有垮掉的危险。就本质而言，数学是数学家表述他们要表述的对象，唯一的要求就是逻辑上的自洽，它本身并非什么真理。

可能，对实数的代数结构有一个较为完整而清晰的了解，特别是弄清楚有理数、实数、复数的性质并且对它们之间的联系，并非那么容易。但是若只说实数的定义以及其构造，那就简单不少。这大约对应于大学数学系大一的课程。大家知道，实数构造有好几个对等的方法，例如柯西序列、戴得金分割、魏尔斯特拉斯的聚点定理、区间套定理等。这些理论是极其优美的，其中涉及到了许多有关实数本质的概念，例如紧性、稠密性、完备性、连通性等。这些涉及实数坚实基础的理论，直到 19 世纪末才由一批数学家的集体努力才得以完成。

所以，大家看到，尽管我们很早就在使用实数，而且在戴德金、康托等人完成实数的理论之前，我们甚至还知道复数，而且在复变函数之中有了不少结果，但是其严密的逻辑基础却是非常滞后的。俺这里实际上在说，无非是希望对数学不甚了解的网友明白 (包括俺自己，呵呵)，咱们在数学课程学到的先后次序，不一定是数学历史上发展的先后、因果次序，更不一定是数学作为成熟的学科在逻辑自洽所要求的的次序。

从度量空间 (粗略地讲，度量空间就是能定义距离的空间。有理数、实数、复数空间显然是度量空间，例如实数上两数的距离就定义为其差值的绝对值；复数的距离定义为其模) 角度而言，有理数不是完备的，例Cauchy 序列
         2，2.7，2.71，2.718，2.7182，2.71828，...
是一个有理数序列，但是它收敛于无理数 e。有理数不是个完备空间就是历史上第一次数学危机的根源。相传古希腊的毕达哥拉斯学派的哲学就是有理数，他们认为世间的一切都能用整数以及有理数解释，例如毕达哥拉斯认为，你拉紧一根弦，然后去拨动弦的某点，那么，如果以此点为界的两段弦的长度之比是个简单的整数比 (也就是有理数)，那么弦振动的声音会很好听。可惜，毕达哥拉斯有个门徒发现并且证明了，如果正方形的边长为1，那么其对角线的长度不能用有理数表示 (大家知道，这个数是根号2)，毕达哥拉斯知道后大为震惊，命其门徒保守秘密，可是门徒不从，毕达哥拉斯大怒，下令将门徒丢入大海淹死了。

从方程的角度而言，大家知道，系数为实数的方程在实数域上并非总有解 (除非是一元一次方程)，因为有的解是复数。但是系数为复数的方程在复数域上总是有解的，这其中的根源是什么呢？用数学的行话说，其本质/根源就是复数域 是实数域的代数闭包：C = R[X]/(X^2+1)，其中的 R[X] 是实数域上的多项式，它是一个环 (Ring)，由其“理想” (x^2+1) 生成的商环。

这里说说复数。复数概念的萌芽，早在古希腊就出线了，但是它在数学中正式被提出，已经是一千多年以后的事情。虚数的概念就是大思想家笛卡儿提出的，著名数学家欧拉使得复数的研究发扬光大。

形式上，大家知道，复数可以看作是 1 和虚数单位 i “生成”的：
   c = a + bi   (a，b 是实数)
很明显，复数空间和平面二维空间在拓扑上是一样的。

哦，有必要交代一哈，109 楼有几个代数术语：环 ring，域 field。这些，连代之前所说的群 group，都是代数中一些最基本最核心的概念，很多非数学专业的学生也得学它们，例如俺就狠是学了一些，呵呵。简单地说，群就是实数上像诸如一个二元运算 (例如加法或者乘法) 概念的推广和抽象，环呢，就是实数上两个二元运算 (加法和乘法) 概念的推广和抽象。当然，一个环首先得是一个群 (而且必须是可交换的)。域呢，简单地讲，就是数域以及四则运算的推广和抽象，没啥神秘的。这些概念在别的学科都有很重要的应用，例如物理、计算机科学、电子通讯技术等。例如基于域论的素多项式理论，在英特网的信号传送过程中错码的排除、修正中，就有很关键的作用。

109 楼的“理想”也是个代数概念。这里没必要细说，但是，它在环论中的地位，就相当于正规子群在群论中的地位。因为咱们的目的是理解 SU(2) 群以及标准模型，我只准备说些和群相关的概念 (而且群论也简单些，因为它只有一个运算，环有两个)。

等下说说复数的推广：四元数，以及 Clifford 代数。

泪水晶

从重水中路过，，

紫荆棘鸟

泪水晶 发表于 2012-7-31 03:06
从重水中路过，，

得续下去，不能成烂尾巴楼